spectre amplitude du fondamental

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Interpréter le spectre d'un signal Méthode

Un son complexe est un signal composé de plusieurs fréquences. Il est caractérisé par sa hauteur et son timbre. Le spectre d'un son complexe permet de visualiser les fréquences composant le son et de déterminer ses caractéristiques.

Le son d'une corde de guitare et d'un diapason sont enregistrés simultanément. On obtient l'oscillogramme suivant ainsi que le spectre en fréquence.

Déterminer la hauteur du son de la guitare ainsi que son timbre.

Repérer la fréquence fondamentale

On repère la fréquence la plus petite et, en général, la plus intense sur le spectre. C'est la fréquence fondamentale f_0 .

Spectre du signal

Sur le spectre en fréquence, on repère la plus petite fréquence.

Déterminer la valeur de la fréquence fondamentale f_0

On détermine la valeur de la fréquence fondamentale à l'aide de l'axe gradué en abscisse (souvent selon une échelle logarithmique).

La fréquence fondamentale repérée sur le spectre est donc :

Déterminer la hauteur du son

On donne la valeur de la hauteur du signal qui est, par définition, la fréquence fondamentale f_0 .

La hauteur du son de la guitare est égale à la fréquence fondamentale, c'est-à-dire :

Repérer les harmoniques

On repère les fréquences f_i multiples de la fréquence fondamentale f_0 .

On repère sur le spectre les fréquences multiples de f_0 :

Conclure en donnant la définition du timbre

On rappelle que le timbre est défini par l'ensemble des harmoniques du signal repérées précédemment.

Le timbre de cette guitare est constitué de 3 harmoniques f_1 , f_2 et f_3 , fréquences multiples de la fréquence fondamentale f_0 .

La fréquence f=440 Hz correspond au son du diapason.

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Exploitation d'un spectre de fréquence

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À partir des données de cette courbe et à l’aide d’un logiciel d’analyse de spectre qui permet de calculer les différentes fréquences des signaux sinusoïdaux qui constituent le son complexe, on obtient le spectre de fréquence correspondant  :  

Doc. 2. Spectre de fréquence de la courbe du document 1.

Le spectre de fréquence d’un son pur (ou son simple) n’est composé que d’un seul pic qui correspond à la fréquence du mode de vibration fondamentale (ou simplement fréquence fondamentale). Le spectre de fréquence d’un son complexe est composé de plusieurs pics   correspondants à la fréquence du mode fondamental et celles de ses harmoniques.

On associe à la hauteur d’un son la fréquence de son mode de vibration fondamentale .  Sur un spectre de fréquence, la hauteur d’un son est donc déterminée par la fréquence, f 1 , du premier pic.

Ces spectres ont même hauteur (même fréquence fondamentale) : ils correspondent bien à une même note de musique. Ils ont des timbres différents puisqu’ils sont composés d’harmoniques de même fréquence mais d’intensités différentes (le cinquième harmonique  du spectre (c) a une intensité nulle).

Doc. 5. Spectre du Do 2 (octave 2) joué par un instrument.

On observe bien que pour une même note (le do ici), pour passer d’une octave à une autre, il suffit de multiplier la fréquence par 2 . Le spectre en fréquence du Do 2 permet également de comprendre que, pour une oreille "européenne", l'accord majeur Do-Mi-Sol soit harmonieux, puisque ces trois notes ont des harmoniques communes.

Doc. 6. Fréquences des différentes notes d'un piano.

La plupart des téléphones actuels sont dits à numérotation à fréquence vocale. Chaque numéro est caractérisé par sa position sur le clavier (ligne, colonne). Lorsque l'on appuie sur une touche, le signal émis résulte de la superposition de deux signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes, l'une caractéristique de la ligne et l'autre de la colonne ( doc. 7).  

Doc. 7. Fréquences des touches d'un téléphone.

De ce fait, le' son émis lorsqu'on appuie sur le 5 du clavier correspond à la superposition d'une sinusoïde de fréquence 770 Hz et d'une autre de fréquence 1 336 Hz.

Le spectre de fréquence du son correspondant présente deux pics ( doc. 8) : 

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Le spectre d'amplitude d'un signal périodique

A différents signaux.

De nombreux signaux analogiques ou numériques sont utilisés dans les communications entre machines ou entre humains. Le support est, le plus souvent, une tension mais ce peut être une onde électromagnétique (radio, TV, radar), une onde lumineuse ou infrarouge (fibres optiques) ou une onde sonore.

L'information transportée est :

un message audio (parole, musique) ;

un message vidéo (image TV) ;

un message binaire ;

un signal analogique de l'état d'un capteur.

Une façon naturelle de connaître un signal est d'observer son allure en fonction du temps, ou représentation temporelle . On observe ainsi plusieurs types de signaux :

Le bruit n'est pas un signal périodique.

B La représentation fréquentielle d'un signal

Un signal continu a une représentation temporelle horizontale, ici s(t) = 5 en noir.

Un signal sinusoïdal a une forme caractéristique, ici s 1 (t)   = 3 sin (2 Π t) en violet.

Un signal sinusoïdal associé à une composante continue donne : s 2 (t)  = 3 + 2 sin (4 Π  t) en vert.

Évolution temporelle des signaux s, s1 et s2

Un signal sinusoïdal s'écrit :

Amplitude en fonction de la fréquence

La représentation en fréquence d'un signal est un graphe faisant apparaître l'amplitude en fonction de la fréquence :

s(t) apparaît pour la fréquence f = 0 et une amplitude égale à 5 ;

s 1 (t) = 3 sin (2Π t) = 3 sin (2Π × 1 × t) a une amplitude valant 3 pour une fréquence f = 1 Hz. Il est représenté par un segment vertical d'amplitude 3 à la fréquence f = 1 Hz ;

s 2 (t)   = 3 + 2 sin (4Π t) = 3 + 2 sin (2Π × 2 × t) a une amplitude valant 2 pour une fréquence f = 2 Hz. Il est représenté par un segment vertical d'amplitude 2 à la fréquence f = 2 Hz, et sa composante continue par un segment vertical d'amplitude 3 pour f = 0.

C La décomposition d'un signal périodique

Il est possible de trouver le spectre d'amplitude d'un signal périodique avec la décomposition en série de Fourier. En effet, le mathématicien Fourier a démontré que la fonction x(t), de forme quelconque, mais périodique de période To, peut s'écrire sous la forme suivante :

x(t) = X 0 + X 1 sin(2Π.f 1 t + ϕ 1 ) + X 2 sin(2Π.2f 1 t + ϕ 2 ) + X 3 sin(2Π.3f 1 + ϕ 3 ) +… + X n sin(2Π.nf 1 t + ϕ n ),

avec X 0 la valeur moyenne du signal, X 1 l'amplitude du fondamental, X 2 l'amplitude de l'harmonique 2, …, X n l'amplitude de l'harmonique nx.

La première fréquence f 1 est le fondamental, c'est la fréquence du signal . L'harmonique de rang n est à la fréquence nf 1 .

Cette décomposition peut aussi s'écrire de la façon suivante :

x(t) = X 0 + Σ X n sin(2Π nf 1 t + ϕ n ).

Le spectre représentant les amplitudes X n en fonction de la fréquence n f 1 a l'allure suivante :

Le spectre d'un signal périodique est toujours un spectre de raies, qui ne peuvent se trouver qu'aux fréquences nf 1 .

Un signal périodique a une fréquence f = 170 Hz. Il comporte aussi un harmonique de fréquence f n  = 850 Hz. En faisant le rapport f n f = 850 170 = 5, on en déduit qu'il s'agit de l'harmonique de rang 5.

Deux signaux périodiques ayant le même spectre peuvent avoir des formes différentes ! Le spectre en fréquence ne suffit pas à caractériser un signal.

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Amplitude du fondamental du spectre MLI

Bonjour tout le monde, voilà, ma question est de savoir pourquoi l'amplitude du fondamental d'un signal de sortie d'onduleur (ou l'amplitude du fondamental de son spectre) , est inférieure à l'amplitude de la modulante. Mon explication est que cela est du à l'existence des harmoniques de rangs supérieurs. Merci d'avance

Re : Amplitude du fondamental du spectre MLI

Envoyé par espoir1976 Bonjour tout le monde, voilà, ma question est de savoir pourquoi l'amplitude du fondamental d'un signal de sortie d'onduleur (ou l'amplitude du fondamental de son spectre) , est inférieure à l'amplitude de la modulante. Mon explication est que cela est du à l'existence des harmoniques de rangs supérieurs. Merci d'avance Bonjour, C'est trés bizzare, a moins que je n'ai rien compris.... Explique toi et fait un dessin du spectre

En science " Toute proposition est approximativement vraie " ( Pascal Engel)

Envoyé par espoir1976 Bonjour tout le monde, voilà, ma question est de savoir pourquoi l'amplitude du fondamental d'un signal de sortie d'onduleur (ou l'amplitude du fondamental de son spectre) , est inférieure à l'amplitude de la modulante. Mon explication est que cela est du à l'existence des harmoniques de rangs supérieurs. Merci d'avance Bjr à toi, Et qu'est ce que tu appeles "la modulante" ?? Calculair je rejoins ton camp !! Un onduleur "fabrique" de l'alternatif avec une fréquence de fonctionnement . Cette fréquence EST la FONDAMENTALE. Je n'y vois pas de "modulante",. Les harmoniques qui sont FORCEMENT de "rang SUPERIEUR", sont généralement d'un niveau plus FAIBLE en amplitude. Juste une question:ton onduleur il est "alimenté" par quoi ? A+

Bonjour. Je ne comprends pas la façon dont votre question est rédigée. Que les bandes latérales aient une amplitude plus grande que la porteuse, oui. Ceci est bien dû, à la profondeur de modulation. Mais comparer l'amplitude entre le signal modulé et le signal modulant, alors que l'on est en modulation de largeur d'impulsion n'a pas de sens. Car tout dépend de la relation entre l'amplitude du signal modulant et la largeur d'impulsion correspondante. Au revoir.

Merci pour vos réponses. Ce que j'appelle la modulante c'est le signal de référence (une sinusoïde qui est comparée à un signal en dents de scie ou triangulaire, appelé lui, porteuse). Je parle du spectre du signal de sortie de l'onduleur. Ce signal est alternatif mais pas sinusoïdal, donc riche en harmoniques. Et en réalisant un spectre, on trouve un fondamental, et des harmoniques. Ma question est que l'amplitude de ce fondamental (qui nous intéresse en MLI) a une amplitude inférieure à celle ma sinusoïde (ou ma référence à l'entrée). Exemple : Si j'ai une tension continue de 100 V à l'entrée de l'onduleur, et un taux de modulation de 0.8, l'amplitude du fondamental du signal à la sortie de l'onduleur devrait être égale à 80 V théoriquement non? Merci, si ce n'est pas claire, je pourrait me reprendre.

Dernière modification par espoir1976 ; 03/02/2010 à 14h14 .

Re. Je n'appellerais pas "porteuse" le signal triangulaire. Dans votre exemple, la "porteuse" est la tension continue de 100 V que vous modulez suivant les indications du comparateur. Mais ce comparateur compare un signal de référence (qui n'est pas le signal de sortie) au signal triangulaire qui est là pour fixer la cadence et "régler" la largeur des impulsions. Si vous regardez le spectre du signal de sortie (avant filtrage) vous aurez une sinusoïde de 50 Hz dont l'amplitude est nécessairement plus petite que celle des impulsions, à moins que la largeur des impulsions soit de 100% pour les crêtes. Vous verrez (avec vous yeux, pas avec vos calculs) cela si vous vous faites un dessin pendant une période avec les impulsions qui changent de largeur. Je ne vois pas bien votre exemple avec les 100 V et le 0,8. Si c'est un onduleur il doit avoir aussi la partie négative. Si non, vous sortez de l'alternatif avec un support continu de 50 V et d'amplitude max de 50 V. Et 90 V au moment ou le taux est de 0,8 et 10 V pour 0,2. A+

Envoyé par LPFR Re. Je n'appellerais pas "porteuse" le signal triangulaire. Dans votre exemple, la "porteuse" est la tension continue de 100 V que vous modulez suivant les indications du comparateur. Mais ce comparateur compare un signal de référence (qui n'est pas le signal de sortie) au signal triangulaire qui est là pour fixer la cadence et "régler" la largeur des impulsions. Si vous regardez le spectre du signal de sortie (avant filtrage) vous aurez une sinusoïde de 50 Hz dont l'amplitude est nécessairement plus petite que celle des impulsions, à moins que la largeur des impulsions soit de 100% pour les crêtes. Vous verrez (avec vous yeux, pas avec vos calculs) cela si vous vous faites un dessin pendant une période avec les impulsions qui changent de largeur. Je ne vois pas bien votre exemple avec les 100 V et le 0,8. Si c'est un onduleur il doit avoir aussi la partie négative. Si non, vous sortez de l'alternatif avec un support continu de 50 V et d'amplitude max de 50 V. Et 90 V au moment ou le taux est de 0,8 et 10 V pour 0,2. A+ Merci pour toutes ces précisions. Pour moi, une MLI, c'est la comparaison d'un signale sinusoïdal (la référence ou la modulante), et une porteuse (un signale triangulaire par exemple). Pour mon exemple, c'est sûr, j'ai 100 V en continu à l'entrée, et en sortie de l'onduleur, on obtient un signal alternatif qui oscille entre -100 V et +100 V. Mais si le taux de modulation est de 0.8 par exemple, qu'elle serait l'amplitude du fondamental?

Envoyé par espoir1976 Merci pour toutes ces précisions. Pour moi, une MLI, c'est la comparaison d'un signale sinusoïdal (la référence ou la modulante), et une porteuse (un signale triangulaire par exemple). Pour mon exemple, c'est sûr, j'ai 100 V en continu à l'entrée, et en sortie de l'onduleur, on obtient un signal alternatif qui oscille entre -100 V et +100 V. Mais si le taux de modulation est de 0.8 par exemple, qu'elle serait l'amplitude du fondamental? Re. On ne peut pas discuter sans avoir, au moins le schéma block de votre dispositif. Avec 100 V continu, vous ne pouvez pas obtenir du +100 à -100 volts par le seul découpage. Vous ne pouvez pas faire du positif de la même façon que du négatif. Si vous tenez à considérer le signal triangulaire comme une porteuse, il faudra que ce soit quelqu'un d'autre qui vous explique. Je ne vous suis pas dans vos raisonnements. A+

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En 1822, Joseph Fourier publie Théorie analytique de la chaleur , ouvrage dans lequel il utilise une technique qui consiste à décomposer une fonction périodique par une somme infinie de sinus et de cosinus. Bien que suscitant quelques réserves de la part de nombreux mathématiciens de l'époque, l'analyse de Fourier est de nos jours solidement structurée et bien comprise.

Ce chapitre explique cette décomposition spectrale et l'illustre dans le domaine de l'électronique et de la physique ondulatoire.

Décomposition en séries de Fourier

Signaux périodiques.

De nombreux phénomènes se caractérisent par des signaux de différentes natures présentant une allure périodique. On peut penser au cycle des taches solaires, aux observables biologiques du corps humain (pression aortique, électrocardiogramme...), aux signaux électroniques, aux sons complexes produits par les instruments de musique, etc. Nous notons \(f(t)\) ce signal, et \(t\) une variable réelle. Pour fixer les idées, on peut imaginer que \(t\) soit la variable temporelle bien que ce ne soit pas nécessaire ; \(t\) peut aussi bien être une variable spatiale. Le signal admet \(T\) comme période Notez que tout multiple de T est également une période ; c'est pourquoi par convention la période est la plus petite valeur possible de T qui vérifie (1). lorsque l'on peut écrire

Toute l'information utile du signal se retrouve donc dans un motif de durée \(T\). Le nombre \(\nu\) de motifs que l'on trouve dans un intervalle d'une seconde s'appelle la fréquence et s'exprime en hertz (Hz). Vu que le motif s'étend sur une durée \(T\), on a

Fréquence d'un signal périodique

\begin{equation} \nu=\frac{1}{T} \qquad [1\,\mathrm{Hz}=1\,\mathrm{s^{-1}}] \label{serie-de-fourier-eq2} \end{equation}

Le motif présente des caractéristiques que l'on peut facilement mesurer dès lors que le signal est converti en un signal électrique :

• La composante continue représente la valeur moyenne La moyenne d'une fonction \(f\) sur l'intervalle \([a,b]\) s'obtient par l'intégrale \[\frac{1}{b-a}\int_{[a,b]} f(x)\,\mathrm{d}x\] du signal : \begin{equation} f_\text{cc}\stackrel{\text{def}}= \overline{f(t)}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\,\mathrm{d}t \label{serie-de-fourier-eq3} \end{equation}
• La valeur crête-à-crête correspond à l'écart entre le maximum et le minimum de \(f\) : \begin{equation} f_\text{pp}\stackrel{\text{def}}=\max(f)-\min(f) \label{serie-de-fourier-eq4} \end{equation}
• Les signaux rencontrés en physique présentent une moyenne quadratique finie. En effet, la puissance d'un signal est proportionnelle à \(f^2(t)\) de sorte que sa moyenne doit être efficace en anglais rms-value pour root mean square value . est liée à la moyenne quadratique via la relation \begin{equation} f_\text{rms}\stackrel{\text{def}}= \sqrt{\overline{f^{2}}}= \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f^2(t)\,\mathrm{d}t} \label{serie-de-fourier-eq5} \end{equation}

En électricité, la puissance électrique reçue par un conducteur ohmique de résistance \(R\) vaut \(\mathcal{P}(t)=Ri\,^2(t)\) de sorte que la puissance moyenne reçue vaut \[ \overline{\mathcal{P}}=R\, \overline{i^2}=R\, {i^2_\text{rms}} \]

A priori, la fréquence et la valeur efficace d'un signal ne permettent pas de décrire complètement le signal périodique. En revanche, un sinus est complètement décrit par sa fréquence et sa valeur efficace ; il serait donc intéressant de pouvoir décomposer un signal périodique en sinus et cosinus.

Théorème de Fourier

Nous savons tous qu'une même note jouée sur un violon ou sur un piano sonne différemment bien que leurs fréquences sont identiques. En effet, l'oreille humaine, à l'instar d'un prisme avec la lumière, décompose les sons complexes en un spectre de sons purs que le cerveau est capable de comparer et d'interpréter. C'est l'idée de base de l'analyse de Fourier : décomposer un signal périodique de fréquence \(\nu\) en une somme de sinus de fréquences multiples de \(\nu\).

Sous certaines conditions mathématiques assez peu restrictives pour les grandeurs physiques, on montre qu'un signal périodique \(f(t)\) est développable en série de Fourier, comme suit : \begin{equation} f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(n\, 2\pi \nu\, t)+b_{n}\sin(n\, 2\pi \nu \, t) \quad\text{avec}\quad n\in \mathbb{N} \label{serie-de-fourier-eq6} \end{equation} Le terme \(a_{n}\cos(n\, 2\pi \nu\, t)+b_{n}\sin(n\, 2\pi \nu \, t)\) représente l' harmonique de rang \(n\). L'harmonique de rang \(n=1\) est aussi appelée le fondamental de \(f\).

La série de Fourier converge point à point en f(t) si le signal est continu et d'énergie finie sur une période.

L'ensemble des coefficients de Fourier \((a_n,b_n)\) détermine complètement la forme du motif périodique. C'est pourquoi, une autre façon de représenter un signal est de fournir l'histogramme des coefficients de Fourier : on obtient ce que l'on appelle la représentation spectrale ou le spectre de Fourier de \(f\). Par exemple, deux notes de même hauteur La hauteur est reliée à sa fréquence, par exemple un La 440 correspond à un signal acoustique de fréquence 440 Hz jouées par deux instruments de musique différents présentent deux spectres constitués des mêmes harmoniques mais dont les poids relatifs diffèrent. Ces notes sont de hauteur identique mais de timbre distinct.

Si la fonction \(f(t)\) est connue, on peut déterminer les coefficients de Fourier par intégration. Par exemple, si l'on prend la moyenne de la série de Fourier on trouve \(a_0\). Le premier coefficient de Fourier représente donc la composante continue de \(f\) :

Calcul de a 0

\begin{equation} a_0= f_\text{cc}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\,\mathrm{d}t \label{serie-de-fourier-eq7} \end{equation}

Quand on multiplie le développement de Fourier par \(\cos(n\, 2\pi \nu\, t)\) puis que l'on calcule la moyenne, tous les termes s'annulent sauf le terme \(a_n\overline{\cos^2(n\, 2\pi \nu\, t)}\) qui vaut \(a_n/2\). On en déduit (Pour déterminer \(b_n\) il suffit de multiplier la série de Fourier par \(\sin(n\, 2\pi \nu\, t)\) puis de prendre la moyenne temporelle.)

Coefficients des harmoniques

\begin{equation} a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(n\, 2\pi \nu\, t)\,\mathrm{d}t \quad\text{et}\quad b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(n\, 2\pi \nu\, t)\,\mathrm{d}t \label{serie-de-fourier-eq8} \end{equation}

Illustration sur un exemple

Voyons par exemple comment un signal triangulaire se décompose en série de Fourier. Pour simplifier, prenons un signal triangulaire d'amplitude \(A\) et de période \(T=1\,\mathrm{s}\). Sa fréquence fondamentale est donc \(\nu=1\,\mathrm{Hz }\). En vertu du théorème de Fourier, le signal se développe comme suit : \[ f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(2\pi n\, t)+b_n\sin(2\pi n\, t) \]

Tout d'abord, le signal présente une composante continue nulle. Par conséquent \(a_0=0\). Ensuite, l'origine des temps est placé de telle sorte que la fonction est paire ; par conséquent le développement ne peut contenir que des harmoniques paires. C'est pourquoi les coefficients \(b_n\) sont tous nuls. Il ne nous reste plus qu'a déterminer les coefficients \(a_n\) donnés par Rappelons que si \(f\) est paire, \[\int_{[-a,a]}f(x)\,\mathrm{d}x=2\int_{[0,a]}f(x)\,\mathrm{d}x\]

Sachant que \(\cos(\pi n)=(-1)^n\), on trouve finalement \begin{equation} a_n= \begin{cases} 0 & \text{si } n \text{ est pair} \\[3mm] \dfrac{8A}{\pi^2} \dfrac{1}{n^2}, & \text{si } n \text{ est impair.} \end{cases} \quad\text{et}\quad b_n=0 \label{coef_fourier_triangle} \end{equation}

Autrement dit, le signal triangulaire est exclusivement constitué d'harmoniques de fréquences multiples impaires de la fréquence fondamentale et dont les amplitudes décroissent assez rapidement. La huitième composante par exemple correspond à \(n=15\) et présente une amplitude 225 fois plus faible que celle du fondamental.

On comprend dès lors que la convergence de la série de Fourier est ici assez rapide comme le montre la figure ci-dessus.

Notation complexe

On peut reformuler le développement de Fourier en notation complexe. À partir de \eqref{serie-de-fourier-eq6} et des relations d'Euler, on a

Notez que la somme s'étend sur \(\mathbb{Z}\) ! \(\underline{c_n}\) est le coefficient de Fourier complexe donné par

Si l'on reprend les relations \eqref{serie-de-fourier-eq8}, on s'aperçoit que le coefficient de Fourier complexe se calcule via la formule \begin{equation} \bbox[5px,border:2px solid #ff9d00]{\underline{c_n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t) \, \mathrm{e}^{-i n\,2\pi\nu\, t}\,\mathrm{d}t \quad\text{avec}\quad n\in \mathbb{Z}} \label{\label{serie-de-fourier-eq9}} \end{equation}

L'ensemble des modules des \(\underline{c_n}\) constitue le spectre de \(f\) en amplitude , alors que l'ensemble des arguments des \(\underline{c_n}\) donne le spectre en phase. Pour un signal réel on a \(\underline{c_{-n}}=\underline{c_n}^\star\), soit \(|\underline{c_{-n}}|=|\underline{c_n}|\) et \(\arg(\underline{c_{-n}})=-\arg(\underline{c_n})\). Autrement dit, le spectre en amplitude est symétrique par rapport à l'axe \(n=0\), le spectre en phase anti-symétrique. Pour ces raisons, on se contente souvent de représenter les spectres pour les valeurs positives de \(n\).

Relation de Parseval

La puissance moyenne du signal \(f(t)\) est proportionnelle au carré de sa valeur efficace. Or, chaque harmonique transporte également une puissance proportionnelle à sa valeur efficace. La relation de Parseval exprime simplement le fait que la puissance du signal est égale à la somme des puissances transportées par les différentes harmoniques, ce qui en terme de valeurs efficace se traduit par On rappelle qu'un signal sinusoïdal d'amplitude a présente une valeur efficace égale à a/√2. Quant au signal constant d'amplitude a sa valeur efficace vaut également a . la relation

Théorème de Parseval

\begin{equation} \overline{f^2}\stackrel{\text{def}}= f^2_\text{rms}=a_0^2+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n^2+b_n^2}{2} \label{serie-de-fourier-eq10} \end{equation}

La relation \eqref{serie-de-fourier-eq10} prend une forme particulièrement simple lorsque l'on fait intervenir les coefficients de Fourier complexes. En effet, sachant que \(c_{n>0}=\frac12 (a_n-ib_n)=c^\star_{n < 0}\) et \(c_0 = a_0\), on obtient

Théorème de Parseval en notation complexe

\begin{equation} \overline{f^2}=\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 \label{serie-de-fourier-eq11} \end{equation}

Le développement de Fourier \eqref{serie-de-fourier-eq6} peut aussi s'écrire  : \[ f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos(n\, 2\pi \nu\, t+\varphi_n) \quad\text{avec}\quad A_n^2=a_n^2+b_n^2 \quad\text{et}\quad n\in \mathbb{N} \] où \(A_n\) représente l'amplitude de l'harmonique de rang \(n\). Élevons au carré le signal : \[ \begin{array}{ccccc} f^2(t) &=&a_0^2&+&2a_0\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos(n\, 2\pi \nu\, t+\varphi_n)\\[1mm] &&&+&\sum_{n,m}A_nA_{m}\cos(n\, 2\pi \nu\, t+\varphi_n)\cos(m\, 2\pi \nu\, t+\varphi_m) \end{array} \] Calculons maintenant la moyenne de \(f^2(t)\) sur une période. Compte tenu des propriétés des fonctions trigonométriques, on obtient \[ \overline{f^2}=a_0^2+\sum_{n=1}^\infty \frac{A_n^2}{2}=a_0^2+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n^2+b_n^2}{2} \]

On enregistre à l'oscilloscope une tension électrique \(u(t)\) dont on donne le spectre en amplitude. On envoie cette tension aux bornes d'un voltmètre en mode AC. Quelle valeur affiche-t-il sachant que sa résolution est de 10 mV ?

Rép. — Le voltmètre affiche 0,98 V.

Applications

Filtrage analogique.

Considérons un système qui transforme un signal d'entrée \(e(t)\) en un signal de sortie \(s(t)\). On appelle filtre un tel système si :

• ses caractéristiques sont invariantes dans le temps;
• son comportement respecte le principe de superposition.

Un filtre est caractérisé par sa fonction de transfert \[ \underline{H}\stackrel{\text{def}}= \frac{\underline{s}(t)}{\underline{e}(t)} \] qui donne la réponse en régime sinusoïdal (on utilise la notation complexe : \(\underline{e}(t)=\underline{E}\,\mathrm{e}^{i\, 2\pi\nu t}\) et \(\underline{s}(t)=\underline{S}\,\mathrm{e}^{i\, 2\pi\nu t}\)).

En électronique, dans une chaîne d'analyse et de traitement du signal électrique, on rencontre couramment des filtres sous la forme de quadripôles, c'est-à-dire d'éléments possédant deux bornes d'entrée et deux bornes de sortie. Les grandeurs d'entrée et de sortie sont les tensions ou les courants. La fonction de transfert correspond en général à la réponse en tension en boucle ouverte C'est-à-dire lorsque la sortie ne débite aucun courant, comme c'est le cas lorsqu'on y branche un voltmètre ou un oscilloscope dont les impédances d'entrée sont suffisamment grandes pour être considérées infinies. : \begin{equation} \underline{H}(\nu)\stackrel{\text{def}}= \left.\frac{\underline{u_s}(t)}{\underline{u_e}(t)}\right|_{\underline{i_s}=0} \end{equation} \(\underline{H}\) est une grandeur complexe qui varie avec la fréquence, ou la pulsation La pulsation s'exprime en rad/s. \(\omega=2\pi \nu\) selon les préférences.

Le module de la fonction de transfert renseigne sur le gain en amplitude \(G\) alors que l'argument donne le déphasage sortie/entrée \(\phi\) : \begin{equation} G\stackrel{\text{def}}= |\underline{H}|=\frac{S_\text{rms}}{E_\text{rms}} \quad\text{et}\quad \phi=\arg{\underline{H}} \end{equation}

Exemple : filtre RLC

Étudions le filtre formé par la mise en série d'un conducteur ohmique de résistance \(R\), d'un condensateur de capacité \(C\) et d'une bobine de self-inductance \(L\). Le signal d'entrée sera la tension aux bornes de l'ensemble et le signal de sortie la tension aux bornes du conducteur ohmique. Nous reconnaissons un diviseur de tension, de sorte qu'en régime sinusoïdal on peut écrire Rappelons qu'en électricité on convient de remplacer le nombre complexe i par j pour éviter les confusions avec l'intensité électrique. \[ \underline{s}(t)=\frac{\underline{Z}_R}{\underline{Z}_R+\underline{Z}_C+\underline{Z}_L}\underline{e}(t) \quad\text{avec}\quad \underline{Z}_R=R \quad \underline{Z}_L=jL\omega \quad\text{et}\quad \underline{Z}_C=\frac{1}{jC\omega} \] On en déduit le la fonction de transfert de ce filtre \[ \underline{H}=\frac{\underline{s}(t)}{\underline{e}(t)}=\frac{1}{1+j\left(\frac{L\omega}{R}-\frac{1}{RC\omega}\right)} \quad\text{avec}\quad \omega=2\pi \nu \]

Souvent, le filtre présente un gain significatif pour un certain intervalle de fréquences alors qu'il est quasiment nul pour les autres fréquences. Le filtre élimine alors certaines harmoniques du signal. Suivant l'allure du gain avec la fréquence on distingue différents types de filtre :

• Le filtre passe-bas laisse passer les basses fréquences et coupe les hautes fréquences ;
• Le filtre passe-haut laisse passer les hautes fréquences et coupe les basses fréquences ;
• Le filtre passe-bande laisse passer les harmoniques situées dans une certaine bande de fréquences ;
• Le filtre réjecteur de bande coupe les harmoniques dans une certaine bande de fréquences.

Lorsque l'on injecte en entrée d'un filtre un signal périodique, chaque harmonique de rang \(n\) est atténuée d'une quantité \(G_n=G(n\nu)\) et déphasée de \(\phi_n=\phi(n\nu)\). En vertu du principe de superposition, on reconstitue le signal de sortie en sommant chaque harmonique une fois transformée par le filtre. Formellement, si \(a_n\) et \(b_n\) sont les coefficients de Fourier du signal d'entrée, alors le signal de sortie s'écrit \[ s(t)=G_0a_0+\sum_{n=1}^\infty G_n\,a_n\cos\left[n\,2\pi\nu\, t+\phi_n\right]+ \sum_{n=1}^\infty G_n\,b_n\sin\left[n\,2\pi\nu\, t+\phi_n\right] \]

Pour illustrer notre propos considérons le filtre RLC de l'exemple précédent dont la réponse en tension vaut \[ G=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{L\omega}{R}-\frac{1}{RC\omega}\right)^2}} \quad\text{avec}\quad\omega=2\pi \nu \] La Fig. 11 montre qu'il s'agit d'un filtre passe bande. La valeur des composants permet de régler la position et la largeur de la bande passante puisque l'on a \[ \nu_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\quad\text{et}\quad \Delta \nu=\frac{R}{2\pi L} \]

Ce type de filtre peut servir à sélectionner l'harmonique d'un signal. Par exemple, imaginons que l'on injecte en entrée un signal en forme de rampe de fréquence 100 Hz. Réglons les composants de façon à centrer la bande passante sur 200 Hz avec une largeur \(\Delta \nu=4\,\mathrm{Hz}\). Le filtre est alors très sélectif : il élimine toutes les harmoniques sauf l'harmonique de rang \(n=2\). On peut constater sur la Fig. 12 qu'il s'agit d'un sinus déphasé de \(\pi\) : autrement dit, \(a_2=0\) et \(b_2<0\).

Physique de la corde vibrante

Considérons une corde que l'on tend entre deux points fixes A et B. Lorsque l'on pince ou frappe cette corde, celle-ci se met à vibrer en entretenant certaines ondes stationnaires.

On montre que le déplacement de la corde Dans l'idéal, la corde doit être sans raideur et sans flexion. Par ailleurs on suppose ici l'absence totale de dissipation d'énergie. \(y(x,t)\) obéit à l'équation d'onde \[ \frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}(x,t)-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}(x,t)=0 \] où \(c\) est la célérité La vitesse de propagation des ondes vaut c = √(T/μ) avec T la tension du fil et μ sa masse par unité de longueur. des ondes transversales qui peuvent se propager. On sait que les solutions s'écrivent comme combinaison de deux ondes progressives : \begin{equation} y(x,t)=\psi_{1}\left(t-\frac{x}{c}\right)+\psi_{2}\left(t+\frac{x}{c}\right) \label{solution_equation_d_onde} \end{equation}

Les points A et B imposent des conditions aux limites puisque les deux extrémités de la corde sont fixes. Nous avons \begin{equation} \begin{cases} y(0,t)=0& \to \psi_{1}(t)+\psi_{2}(t)=0\quad \forall t\\ y(L,t)=0& \to \psi_{1}\left(t-\frac{L}{c}\right)+\Psi_{2}\left(t+\frac{L}{c}\right)=0\quad \forall t\\ \end{cases} \end{equation} La première condition impose $\psi_{1}=-\psi_{2}$ et la deuxième relation devient \[ \psi_{1}\left(t-\frac{L}{c}\right)=\psi_{1}\left(t+\frac{L}{c}\right)\quad \forall t \] Autrement dit, $\psi_{1}$ est une fonction périodique de période \(T=2L/c\) et donc de fréquence \(\nu_0=c/2L\). Ainsi, d'après le théorème de Fourier, \(\psi_1\) peut se décomposer en série de Fourier comme suit : \[ \psi_1(t)=\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(2\pi n\nu_0\,t)+b_n\sin(2\pi n\nu_0\,t) \] En injectant cette relation dans \eqref{solution_equation_d_onde}, on obtient \begin{equation} y(x,t)=\sum_{n=1}^\infty \left[\alpha_n\cos(2\pi n\nu_0 t)+\beta_n\sin(2\pi n\nu_0t)\right]\times \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \label{expression_de_l'onde_stationnaire} \end{equation} L'onde est stationnaire et la vibration est constituée d'harmoniques de fréquences \[ \nu_n=n\nu_0=n\frac{c}{2L} \]

Par ailleurs, la forme initiale de la corde impose une autre contrainte qui permet d'avoir accès aux coefficients de Fourier $\alpha_{n}$ et $\beta_{n}$. En effet, supposons que l'on déforme la corde à \(t=0\), puis qu'on la lâche sans imprimer de vitesse initiale. Si l'on note \(y_0(x)\) la forme initiale de la corde, les conditions aux imites temporelles s'écrivent \[ \begin{cases} y(x,0)=y_0(x)=&\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \alpha_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\\ \dot y(x,0)=0&\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (2\pi n\nu_0 \,\beta_n)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \end{cases} \] La deuxième relation implique \(\beta_n=0\). La première relation permet d'interpréter \(y_0(x)\) comme une série de Fourier d'un signal périodique de période Attention, il s'agit ici d'une fonction spatiale ! \(T_x=2L\). Les relations \eqref{serie-de-fourier-eq8} permettent d'obtenir les coefficients \(\alpha_n\) : \[ \alpha_n=\frac{2}{L}\int_0^L y_0(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\, \mathrm{d}x \]

Par exemple, si l'on pince une corde de guitare en son milieu de façon a ce que la corde adopte un profil triangulaire, puis qu'on lâche la corde, on trouve \[ \alpha_n=0 \text{ si n pair}\quad\text{et}\quad a_n\propto \frac{1}{n^2}\text{ si n impair} \] Autrement dit, la vibration ne contient aucune harmonique paire. La deuxième harmonique est 9 fois plus faible que la fondamentale etc. Comme tout guitariste le sait, le timbre du son émis dépend —entre autres— de l'endroit où l'on pince la corde.

Nous aurions pu illustrer l'exemple historique de l'équation de la chaleur ou encore de nombreux problèmes ondulatoires telle la propagation des phonons dans un cristal ou l'équation de Schrödinger en mécanique quantique, etc. Ce vaste champ d'application est sans aucun doute la raison du succès de ce couteau suisse qu'est l'analyse de Fourier. Et l'histoire ne s'arrête pas là, comme nous allons le voir au chapitre suivant.

Pour en savoir plus...

• R. Renaux-petel L'analyse de Fourier en physique 2015. Disponible sur fermedesetoiles.fr
• B. Houchmandzadeh Mathématiques pour la Physique 2010. Disponible sur hal.archives-ouvertes.fr
• J. Peatross et al. Physics of Light and Optics 2015. Disponible sur optics.byu.edu
• H. Gie & J-P. Sarmant Électromagnétisme, Volume 2 Paris : Technique et documentation, Lavoisier, 1985.
• J-P. Lecardonnel A propos de sons périodiques sans fondamental BUP №767, 1994.
• R. Bracewell L'analyse de Fourier Pour la science №142, p.74-80, 1989.

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Mode d'emploi

Synthèse d'un signal périodique, manipulons la figure....

L'animation réalise la construction ("synthèse") d'une fonction périodique à l'aide de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples

La plus basse fréquence est la fréquence " fondamentale " : ce sera la fréquence du signal final.

Les autres fréquences sont multiples de la fréquence fondamentale : ce sont les harmoniques d'ordre n (n=2, 3, 4, etc)

• Pour chaque composante, le petit carré et le petit cercle permettent de choisir l'amplitude et la phase
• Il est possible de choisir entre 3 signaux prédéfinis (sinusoïdal, carré ou triangulaire)
• Le curseur à côté de la petite note permet de choisir la fréquence ; par défaut c'est 440Hz ( la 3 ).
• En cliquant sur le haut-parleur on met/arrête le son. Le niveau sonore se règle à l'aide du curseur.

Voir aussi la synthèse d'un son musical .

Qu'est-ce qu'un spectre d'amplitude ?

. On parle d'un spectre d'amplitude qui est un spectre de raies. Dans le cas général, le résultat de l'analyse peut s'exprimer soit en amplitudes et phases, soit en composantes cosinus et sinus. La sommation des sinusoïdes crée un signal périodique.

Comment faire un spectre d'amplitude ?

On place les amplitudes et les phases des harmoniques dans deux listes. Pour tracer ce signal, il faut l'échantillonner à une fréquence grande devant la fréquence de l'harmonique de rang 3. On peut par exemple calculer 600 points pour deux périodes, ce qui fait 100 points par période pour cet harmonique.

C'est quoi un spectre de fréquence ?

Le spectre de fréquence est l'ensemble des ondes porteuses envoyées par un satellite artificiel vers une station radio.

C'est quoi le spectre d'un signal ?

Le spectre d'un signal périodique est constitué de raies discrètes. Le spectre d'un signal non périodique est continu. Un signal non périodique ne possède donc ni fondamental, ni harmonique de fréquence multiples entiers de celle du fondamental.

Comment déterminer le spectre d'un signal ?

On peut tracer le spectre d'un son, qui va être le strict analogue du spectre lumineux. Il s'agit alors de tracer l'intensité en fonction de la fréquence. Ainsi pour chaque fréquence on va regarder quelle intensité est présente dans une fréquence donnée.

S02 E05 1 série de Fourier et spectre d'amplitudes V2

Trouvé 21 questions connexes

C'est quoi la fréquence fondamentale .

La fréquence fondamentale est la fréquence de l'harmonique de premier rang (ou harmonique 1). La fréquence fondamentale détermine la hauteur du son (exprimée en hertz). Elle correspond à la fréquence la plus basse.

Quel est l'intérêt de l'analyse spectrale ?

L'intérêt de cette analyse est donc d'éliminer les bruits qui perturbent la lecture du signal (climatique, par exemple) dont témoigne une courbe, et de distinguer les différents éléments qui interfèrent dans la composition de ce signal.

Quelle sont les types de spectre ?

• Spectre d'émission continu.
• Spectre d'émission de raies.
• Spectres d'absorption.

Qu'est-ce qu'un spectrale ?

 spectral, spectrale, spectraux Littéraire. Qui a le caractère d'un fantôme, qui ressemble à un fantôme : Pâleur spectrale. 2. Relatif aux spectres (électriques, de fréquence, etc.).

Comment Appelle-t-on un spectre ?

Un spectre d'émission est le spectre de la lumière émise par une source, on distingue deux types de spectres, les spectres d'émission continus et les spectres de raies. Un spectre continu contient l'éventail de toutes les couleurs du violet au rouge, les 7 couleurs de l'arc-en-ciel.

Quel est le rôle de la fréquence ?

En physique, la fréquence est le nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Dans le Système international d'unités, la fréquence s'exprime en hertz (Hz). La notion de fréquence s'applique aux phénomènes périodiques ou non.

Quel est le timbre d'un son ?

Le timbre désigne l'ensemble des caractéristiques qui permettent d'identifier un instrument ou un type de voix. Il permet de distinguer deux sons de même hauteur (exprimé en hertz) et de même intensité (exprimé en decibel). Le timbre est le produit de sons harmoniques.

Comment faire une analyse spectrale ?

On choisit le mode sinusoïde. On règle l'amplitude du signal afin d'avoir un son suffisamment audible. On ne touchera plus à ce réglage. Si on fait varier la fréquence du signal, alors on peut percevoir un son grave (fréquences faibles) ou aigu (fréquences fortes).

Comment définir une amplitude ?

Amplitude = écart entre deux valeurs extrêmes d'une grandeur, en physique, en astronomie, etc. L'amplitude de la marée. Ampleur appartient au vocabulaire courant, alors qu'amplitude est un terme technique.

Comment s'exprime l'amplitude ?

La dimension de l'amplitude dépend de la grandeur physique mesurée : pour une corde vibrante, c'est une distance. Pour une onde sonore, l'amplitude correspond à la pression acoustique. Sa valeur s'exprime en pascals (Pa).

Comment on mesure l'amplitude ?

L'amplitude (soit la valeur maximale) de la tension s'obtient en effectuant le produit du nombre de divisions correspondant par la sensibilité verticale.

Quelles sont les couleurs du spectre ?

On distingue six couleurs spectrales : le violet, le bleu, le vert, le jaune, l'orange et le rouge. Il existe cependant d'autres couleurs qui ne sont pas spectrales et qui peuvent être obtenues par combinaison de lumières de différentes longueurs d'onde.

Quel est le type du spectre du Soleil ?

Le Soleil est une étoile jaune, de type spectral G.

Quelle est l'allure d'un signal ?

L'enregistrement du son pur émis par un diapason conduit à un signal (une tension) d'allure sinusoïdale ; la fréquence de ce signal est la fréquence du son ou sa hauteur. L'intensité sonore est liée à l'amplitude du signal.

Pourquoi le spectre est continu ?

Spectre continu Lorsque l'on décompose la lumière blanche du Soleil à l'aide d'un prisme on observe un évantail de couleurs. On dit que la lumière blanche possède un spectre continu, car on passe d'une couleur à une autre sans interruption dans la succession des couleurs.

Pourquoi le rouge est plus vif que le bleu ?

Propriétés de la lumière Quand les longueurs d'ondes sont courtes - vers 380 nm - nous les percevons comme du bleu-violet et quand elles sont plus longues - vers 700 nm - nous les percevons comme rouge.

Quel élément dispersé la lumière ?

La réfraction est le phénomène qui fait dévier les rayons de lumière lorsque ceux-ci passent d'un milieu transparent à un autre. Plus l'écart entre les indices de réfraction des deux milieux transparents est grand, plus l'angle de déviation de la lumière est grand.

Comment mesurer la largeur spectrale ?

Deux méthodes existent pour mesurer de telles largeurs spectrales, à savoir une mesure auto-hétérodyne [1] et une mesure déduite de la densité spectrale de bruit de phase du laser.

Comment calculer la résolution spectrale ?

Pour notre besoin il faut avoir : R = 3.10 5 / 100 = 3000, soit un pouvoir de résolution spectral dl = 6563 / 3000 = 2.2 A. Notez que si R<1000 on a affaire à un spectrographe basse résolution. Si R est supérieur à 1000 et inférieur à 5000 le spectrographe est dit à moyenne résolution.

Comment interpréter un spectre d emission ?

• Un spectre de raies d'émission est obtenu en décomposant la lumière émise par une source. Les radiations émises apparaissent colorées.
• Un spectre de raies d'absorption est obtenu en décomposant la lumière ayant traversé un corps. Les radiations absorbées apparaissent noires.
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